حل اسئلة الرياضيات الفصل الرابع الأستاذ سيف عدنان

س1/أ- مثل المعادلة التربيعية التالية في المستوي الإحداثي: y = x² - 1

الحل:

المعادلة y = x² - 1 تمثل قطعًا مكافئًا رأسه عند النقطة (0, -1) ومفتوحًا للأعلى. لتمثيلها بيانيًا:

تحديد الرأس: رأس القطع هو النقطة (0, -1).
نقاط إضافية: اختر قيمًا لـ x على جانبي الرأس وحساب قيم y المقابلة. على سبيل المثال:
- عند x = 1, y = (1)² - 1 = 0 (النقطة (1, 0))
- عند x = -1, y = (-1)² - 1 = 0 (النقطة (-1, 0))
- عند x = 2, y = (2)² - 1 = 3 (النقطة (2, 3))
- عند x = -2, y = (-2)² - 1 = 3 (النقطة (-2, 3))
الرسم: قم بتوصيل النقاط بسلاسة لرسم القطع المكافئ.

سيكون الرسم البياني على شكل حرف U مفتوح للأعلى، يمر بالنقطتين (-1, 0) و (1, 0) ورأسه عند (0, -1).

س1/ب- أستعمل معادلة الميل والمقطع للمستقيم التالي لتحديد ميله ومقطعه: y + 7 = 3x + 5

الحل:

لتحويل المعادلة إلى صيغة الميل والمقطع (y = mx + b)، نعيد ترتيبها:

y + 7 = 3x + 5

y = 3x + 5 - 7

y = 3x - 2

بمقارنة هذه المعادلة بالصيغة y = mx + b، نجد أن:

الميل (m): هو معامل x، أي m = 3.
المقطع الصادي (b): هو الحد الثابت، أي b = -2.

إذن، ميل المستقيم هو 3 ومقطعه الصادي هو -2.

س2/أ- جد المقطع السيني والصادي للمستقيم: 2x + 6y = 12

الحل:

المقطع السيني: لجده، نجعل y = 0 في المعادلة:

2x + 6(0) = 12

2x = 12

x = 6

إذن، المقطع السيني هو النقطة (6, 0).

المقطع الصادي: لجده، نجعل x = 0 في المعادلة:

2(0) + 6y = 12

6y = 12

y = 2

إذن، المقطع الصادي هو النقطة (0, 2).

س2/ب- جد قيمة a التي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين (a, 6) و (3, 2) يساوي -1/4.

الحل:

ميل المستقيم المار بنقطتين (x₁, y₁) و (x₂, y₂) يُعطى بالصيغة: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

في هذه الحالة، النقطتان هما (a, 6) و (3, 2) والميل m = -1/4. بالتعويض:

-1/4 = (2 - 6) / (3 - a)

-1/4 = -4 / (3 - a)

بالضرب التبادلي:

-(3 - a) = -4 * 4

-3 + a = -16

a = -16 + 3

a = -13

إذن، قيمة a = -13.

س3/أ- بين أن النقط: A(1, -3), B(3, -4), C(-1, -2) تقع على استقامة واحدة.

الحل:

لإثبات أن النقاط تقع على استقامة واحدة، يجب أن يكون ميل المستقيم AB مساويًا لميل المستقيم BC (أو AC).

ميل AB: m_AB = (-4 - (-3)) / (3 - 1) = (-4 + 3) / 2 = -1/2

ميل BC: m_BC = (-2 - (-4)) / (-1 - 3) = (-2 + 4) / -4 = 2 / -4 = -1/2

بما أن m_AB = m_BC = -1/2، فإن النقاط A, B, C تقع على استقامة واحدة.

س3/ب- جد إحداثي نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة الواصلة بين (8, 1) و (-4, 3).

الحل:

إحداثيات نقطة المنتصف M لقطعة مستقيمة بين النقطتين (x₁, y₁) و (x₂, y₂) تُعطى بالصيغة:

M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

بالتعويض بالنقطتين (8, 1) و (-4, 3):

M = ((8 + (-4))/2, (1 + 3)/2)

M = (4/2, 4/2)

M = (2, 2)

إذن، إحداثيات نقطة المنتصف هي (2, 2).

س4/أ- باستعمال قانون نقطة المنتصف بين النقاط التالية: A(-3, 5), B(2, 7), C(1, 9), D(-4, 7). رؤوس متوازي الأضلاع.

الحل:

لتحديد إذا كانت النقاط تمثل رؤوس متوازي أضلاع، يجب أن يكون منتصف القطر AC هو نفسه منتصف القطر BD.

منتصف AC: M_AC = ((-3 + 1)/2, (5 + 9)/2) = (-2/2, 14/2) = (-1, 7)

منتصف BD: M_BD = ((2 + (-4))/2, (7 + 7)/2) = (-2/2, 14/2) = (-1, 7)

بما أن M_AC = M_BD = (-1, 7)، فإن قطري الشكل الرباعي ABCD ينصفان بعضهما البعض، وبالتالي فإن الشكل ABCD هو متوازي أضلاع.

س4/ب- أثبت ما يأتي: sin 45° sec 45° + csc 45° sin 45° = 2

الحل:

نعلم أن:

sin 45° = 1/√2
sec 45° = 1/cos 45° = √2
csc 45° = 1/sin 45° = √2

بالتعويض في المعادلة:

sin 45° sec 45° + csc 45° sin 45° = (1/√2) * (√2) + (√2) * (1/√2)

= 1 + 1

= 2

إذن، الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن، وقد تم الإثبات.

س5/أ- جد معادلة المستقيم المار بالنقطة (5, 3) والموازي للمستقيم المار بالنقطتين A(4, 5) و B(2, -3).

الحل:

أولاً، نجد ميل المستقيم المار بالنقطتين A(4, 5) و B(2, -3):

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (-3 - 5) / (2 - 4) = -8 / -2 = 4

بما أن المستقيم المطلوب موازٍ لهذا المستقيم، فإن له نفس الميل، أي m = 4.

الآن، نستخدم صيغة الميل ونقطة (y - y₁) = m(x - x₁) مع النقطة (5, 3) والميل m = 4:

(y - 3) = 4(x - 5)

y - 3 = 4x - 20

y = 4x - 20 + 3

y = 4x - 17

إذن، معادلة المستقيم هي y = 4x - 17.

س5/ب- بين نوع المثلث الذي رؤوسه: A(3, -4), B(5, -2), C(5, -6) من حيث الأضلاع.

الحل:

نحسب أطوال الأضلاع باستخدام قانون المسافة بين نقطتين:

طول AB: √((5 - 3)² + (-2 - (-4))²) = √((2)² + (2)²) = √(4 + 4) = √8

طول BC: √((5 - 5)² + (-6 - (-2))²) = √((0)² + (-4)²) = √(0 + 16) = √16 = 4

طول AC: √((5 - 3)² + (-6 - (-4))²) = √((2)² + (-2)²) = √(4 + 4) = √8

بما أن طول AB = طول AC = √8 وطول BC = 4، فإن المثلث متساوي الساقين لأن له ضلعين متساويين في الطول.

رأيي في الأسئلة ونصائح للطلاب

الأسئلة المطروحة في هذا الاختبار تغطي مجموعة جيدة من مفاهيم الرياضيات في الفصل الرابع، وتركز بشكل أساسي على الهندسة التحليلية والمثلثات. الأسئلة متنوعة وتشمل:

تمثيل المعادلات البيانية: سؤال جيد لفهم العلاقة بين المعادلة والشكل الهندسي.
الميل والمقطع: أساسيات فهم الخطوط المستقيمة.
نقطة المنتصف والاستقامة: مفاهيم هامة في الهندسة الإحداثية.
المثلثات والمتوازيات: تطبيق عملي على قوانين المسافة ونقطة المنتصف.
حساب المثلثات: سؤال بسيط للتحقق من معرفة قيم الدوال المثلثية للزوايا الخاصة.

نصائح للطلاب:

الفهم العميق للمفاهيم: لا تكتفِ بحفظ القوانين، بل افهم لماذا وكيف تعمل هذه القوانين.
التدرب المستمر: حل أكبر قدر ممكن من التمارين المشابهة لتثبيت المفاهيم وتطوير مهارات الحل.
الرسومات التوضيحية: في مسائل الهندسة التحليلية، حاول دائمًا رسم المسألة لتصور الحل بشكل أفضل.
مراجعة القوانين الأساسية: تأكد من حفظ وفهم القوانين الأساسية مثل قانون الميل، قانون المسافة، قانون المنتصف، وقيم الدوال المثلثية للزوايا الشهيرة.
طلب المساعدة عند الحاجة: لا تتردد في سؤال الأستاذ أو الزملاء عند مواجهة صعوبة في فهم أي جزء من المادة.

تعديل المقال